光束质量因子M2（M squared）的测量

各种文献经常会用M²（M squared）因子来评价光束的质量。到底什么是M²？一般文献会告诉你，M²就是一个光束的腰半径和发散角的乘积跟TEM₀₀高斯光束相比的比值。M²≥1，因为TEM₀₀高斯光束的该乘积具有最小值。要想从实验得到M²的值，不可避免的要涉及光束半径测量的问题。

1. 光束半径
光束没有明显的边界，因此它的半径有很多不同定义方法。对于高斯光束，最常见的定义就是1/e²半径，也就是把光强下降到最大值的1/e²的位置定义为半径，通常在公式里以W表示。在统计学里，我们对高斯分布的宽度（半径）使用的是方差，也就是说，对于高斯分布函数

${\displaystyle f(x)=a{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}}$

它的方差（二次矩）半径为σ。把这个公式和一维高斯光束光强公式

${\displaystyle I(x)=e^{-\frac{2x^2}{w_x^2}}}$

比较，就会发现W=2σ。无论是W还是σ，实验上都没办法直接测量。但是如下定义的宽度实验上是可以测量的：用一个刀片，横向扫描过光束，这样一部分光束被刀片遮挡，另外一部分会通过。如果通过的光强等于总光强的90％时刀片坐标为x₁，通过的光强等于总光强的10％时刀片坐标为x₂，这样光束的宽度可以用

${\displaystyle D=|x_2-x_1|}$

表示。当然，这个比例不局限于10％和90％，也可能是其他值。这种实验方法称为“刀锋（knife edge）法”。这样的话，我们需要找出一个D和W（或者σ）的关系。可惜，这个关系依赖于光束的光强分布，所以不存在一种普遍适用的关系。但是对于TEM₀₀高斯光束，这个关系不难得到。
2. TEM₀₀高斯光束
因为刀片在一维方向移动，所以我们只要对光强进行一维积分就可以了。高斯函数的积分为误差函数。例如我们计算宽度D内通过的光强占总光强的比例：

${\displaystyle \frac{{\int }_{-\frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}}{e}^{-\frac{2x^2}{w^2}}\hspace{0.5em}dx}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{2x^2}{w^2}}\hspace{0.5em}dx}=\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}D}{2w}\right)}$

按照上面的例子，这个比值应该是80％。通过查表或者数值计算，我们可以得到

${\displaystyle D=1.2816w=2.5631\sigma }$

这是TEM₀₀高斯光束的结果。对于其他分布种类的光束，这个结果会有变化。
3. M²因子
对于TEM₀₀高斯光束来讲，光束半径在光轴方向（z方向）的变化可以表示为

${\displaystyle w^2(z)=w_0^2+{\left(\frac{\lambda }{\pi w_0}\right)}^2(z-z_0{)}^2}$

其中z₀表示TEM₀₀高斯模式腰的位置。对于一般光束，我们已经提到过，光束发散程度一定超过TEM₀₀高斯光束，所以可以引入一个M²因子，这样一般光束半径可以表示为

${\displaystyle w^2(z)=w_0^2+M^4\times {\left(\frac{\lambda }{\pi w_0}\right)}^2(z-z_0{)}^2}$

上述各式均是在某单一横向方向（例如x)，对于一般光束，x和y方向可能有不同的半径和M²（例如半导体激光），甚至各个方向都不相同，这时候就需要更多方向上的测量才能确定光束分布。M²可以作为光束质量的一个量度。M²越接近1，光束质量越好，发散越小，聚焦时形成的斑点越小。
4. 刀锋法测量
上面的例子中，我们用10％和90％作为光束宽度的测量标准，那么可不可以用其他数值呢？另外，上面得到的D和W之间的关系只对于TEM₀₀高斯光束适用，那么一般的光束半径如何测量呢？Siegman的一篇论文阐述了这个问题，结论是对于绝大多数激光光束，如果阈值选择在8.5％到11.6％之间，TEM₀₀高斯光束的结果都可以作为很好的近似，10％无疑是一个很好的折衷。其实对于大多数激光光束而言，TEM₀₀都是主要成分，这样的近似在大多数时候都是没什么问题的。 测量时，可以在不同的位置z多测几组，然后进行拟合，得到光束的M²和其他各个参数。