统计笔记（一）

1. 协方差（covariance）定义：
   

   ${\displaystyle \mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)=E[(Y_1-{\mu }_1)(Y_2-{\mu }_2)]}$

   
   其中 $E(\hspace{0.5em})$表示期望值， ${\mu }_1=E(Y_1)$， ${\mu }_2=E(Y_2)$。
2. 相关系数（coefficient of correlation）定义：
   

   ${\displaystyle \rho =\frac{\mathrm{Cov}(Y_1,Y_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}}$

   
   其中 ${\sigma }_1$和 ${\sigma }_2$分别是 $Y_1$和 $Y_2$的标准差。
3. 任意分布样本的平均值
   $Y_1$， $Y_2$，...， $Y_n$是 $E(Y_i)=\mu$， $V(Y_i)={\sigma }^2$的独立随机变量，则平均值
   

   ${\displaystyle \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i}$

   
   的期望值 $E(\overline{Y})=\mu$，方差 $V(\overline{Y})={\sigma }^2/n$。
4. 正态分布样本的平均值
   $Y_1$， $Y_2$，...， $Y_n$是来自正态分布（期望值为 $\mu$，方差为 ${\sigma }^2$）的样本，其平均值
   

   ${\displaystyle \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i}$

   
   也呈正态分布，期望值 ${\mu }_{\overline{Y}}=\mu$，方差 ${\sigma }_{\overline{Y}}^2={\sigma }^2/n$。
5. $Y_1$， $Y_2$，...， $Y_n$同上，那么
   

   ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{Z}_i^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{Y_i-\mu }{\sigma }\right)}^2}$

   
   呈自由度为 $n$的 ${\chi }^2$分布。
6. $Y_1$， $Y_2$，...， $Y_n$同上，那么
   

   ${\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y}{)}^2}$

   
   呈自由度为 $n-1$的 ${\chi }^2$分布。其中，
   

   ${\displaystyle S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y}{)}^2}$

   
   是样本方差。 $S^2$和 $\overline{Y}$为独立随机变量。
7. 学生 $t$分布(简称 $t$分布)定义：
   如果 $Z$是正态分布随机变量， $W$是自由度为 $\nu$的 ${\chi }^2$分布随机变量，如果 $Z$和 $W$互相独立，则
   

   ${\displaystyle T=\frac{Z}{\sqrt{W/\nu }}}$

   
   呈自由度为 $\nu$的 $t$分布。
8. 在上面的定义中，如果让 $Z=\sqrt{n}(\overline{Y}-\mu )/\sigma$， $W=(n-1)S^2/{\sigma }^2$，则由上面第4和第6条结论可以得出
   

   ${\displaystyle \sqrt{n}\left(\frac{\overline{Y}-\mu }{S}\right)}$

   
   呈自由度为 $n-1$的 $t$分布。
9. $F$分布定义：
   如果 $W_1$和 $W_2$为独立 ${\chi }^2$分布变量，自由度分别为 ${\nu }_1$和 ${\nu }_2$，则
   

   ${\displaystyle F=\frac{W_1/{\nu }_1}{W_2/{\nu }_2}}$

   
   被称作具有 ${\nu }_1$分子自由度和 ${\nu }_2$分母自由度的 $F$分布。
10. 中心极限定理（Central Limit Theorem）
    $Y_1$， $Y_2$，...， $Y_n$是独立的具有同样分布的随机变量，期望值 $E(Y_i)=\mu$，方差 $V(Y_i)={\sigma }^2<\infty$。定义
    

    ${\displaystyle U_n=\sqrt{n}\left(\frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma }\right)}$

    
    其中
    

    ${\displaystyle \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i}$

    
    那么，当 $n\to \infty$时， $U_n$趋近于正态分布。