Asymptotic Freedom

2011年4月15日星期五

Vim笔记（二）

分割窗口
:split file2    把窗口分割成上下两半，在新开窗口打开文件file2
:new    上下分割窗口，在新开窗口打开新文件
CTRL-W w    切换窗口
CTRL-W +    增大窗口尺寸
CTRL-W -    缩小窗口尺寸
:vsplit file2    左右分割窗口，在新开窗口打开文件file2
CTRL-W h    切换到左边窗口，其他方向按j, k, l类推
CTRL-W H    移动窗口到最左边，其他方向按J, K, L类推
:qall    退出所有窗口，类似的有:wall
反复执行复杂命令
q{register}    开启寄存器，开始记录命令，register可以是a到z中任何一个
q    结束记录命令
@{register}    执行寄存器{register}内所有命令
查找替换一段字符
:[range]s/from/to/[flags] 将from替换为to，[range]控制替换范围，[flags]表示一些控制参数
常用[range]
- . 当前行
- $ 文件最后一行
- 1,5 第一行到第五行
- % 全部文件
- .+3 当前行之下第三行
常用[flags]
- g 替换所有匹配字符串，否则只替换第一个匹配
- c 执行每一个替换之前寻求确认
可视化块模式
CTRL-V    开启可视化块模式，用h,j,k,l选择块
I{string}<Esc>    在块的左边每一行插入一段字符串
A{string}<Esc>    在块的右边每一行加入一段字符串
c{string}<Esc>    替换一个块的文字
U    换为大写字母
u    换为小写字母
~    大小写互换
数行合并
J 数行合并，去除换行符

2011年4月14日星期四

Vim笔记（一）

常用的Vim命令小结，最基本的就不说了，例如如何安装，如何启动和退出，两种基本模式（正常模式和插入模式），用h,j,k,l移动光标，简单的复制粘贴等等。

移动光标

以字符为单位
f 右移至指定字符，例如fh移动至右边第一个h
F 左移至指定字符
以词为单位
w    右移至词首
b    左移至词首
e    右移到词尾
ge    左移到词尾
以行为单位
0    左移至行首
^    左移至行首第一个非空字符
$    右移至行尾
gg    移动至第1行
G    移动至最后1行
nG    移动至第n行
n%    移动至n%位置
以屏为单位
H    移动至屏幕顶端
M    移动至屏幕中间
L    移动至屏幕底端
CTRL-U    向上滚半屏
CTRL-D    向下滚半屏
CTRL-F    向下滚一整屏
CTRL-B    向上滚一整屏

简单搜索
/string    向后搜索字符串
?string    向前搜索字符串
n    下一个匹配字符串
N    上一个匹配字符串
/\<word\>    匹配整个单词，\<和\>分别匹配词首和词尾
%    寻找匹配的括号
书签
ma 标记此处为a，共可使用a到z二十六个书签
`a 回到标记为a处

2011年3月4日星期五

几个关于Gnuplot小技巧的网页

Gnuplot手册不能告诉你的小技巧。Gnuplot也可以画出很惊艳的图片。

not so Frequently Asked Questions
http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index-e.html
Gnuplot tricks blog
http://gnuplot-tricks.blogspot.com/
Impossible gnuplot graphs
http://www.phyast.pitt.edu/~zov1/gnuplot/html/intro.html
Gnuplot surprising
http://gnuplot-surprising.blogspot.com/
Gnuplotting
http://www.gnuplotting.org/

2011年1月12日星期三

Octave笔记

Octave可以看作是开放源代码版本的Matlab，它的命令几乎和Matlab完全一样，因此可以用Matlab的书籍和文档来学习Octave。另外，绝大多数Matlab的代码也可以不经修改在Octave中运行。对于初学者来说，下面这些笔记可以帮助快速上手Octave。更多的功能，可以参考Octave文档或者其他Matlab的资料。

脚本文件，以下面一行开始：
```
#!/usr/bin/octave -qf
```
注释，以%或者#开始
虚数单位：i, j, I, J都可以两种方法定义复数：3 + 4i或者complex(3, 4)

定义矩阵：

octave:1> a = [1, 2; 3, 4]
a =

1   2
3   4

随机数：rand()或者rand(m, n)

定义一段连续序列：

octave:1> 1:5
ans =

1   2   3   4   5

还可以指定步长：

octave:2> 1:2:10
ans =

1    3    5    7    9

字符串：单引号或者双引号

定义Data Structure：

octave:1> x.name = ”Yusuf”
octave:2> x.age = 33
octave:3> x.phone = “46103”
octave:4> x
x =
{
name = Yusuf
age = 33
phone = 46103
}

定义Cell Array：

octave1:> a = {”random matrix”, rand(2)}
a =

{
[1,1] = random matrix
[1,2] =

0.417140   0.460380
0.337105   0.078835

}

octave2:> a{2}(1,2)
ans =  0.460380

声明全局变量：
```
global c = 3e8
```

算术符号

`x + y`	加法
`x - y`	减法
`x * y`	矩阵乘法
`x .* y`	元素相乘
`x / y`	右除，相当于`(inverse (y’) * x’)’`
`x ./ y`	元素右除
`x \ y`	左除，相当于`inverse (x) * y`
`x .\ y`	元素左除，每个y元素被相应的x元素除
`x ^ y` 或 `x ** y`	乘方
`x .^ y` 或 `x .** y`	元素乘方
`x’`	转置复共轭
`x.’`	转置

比较符号

x < y 小于

x <= y 小于等于

x == y 等于

x >= y 大于等于

x > y 大于

x != y 或 x ~= y 不等于
if语句

形式一：
```
if (condition)
  then-body
endif
```

形式二：

if (condition)
  then-body
else
  else-body
endif

形式三：

if (condition)
  then-body
elseif (condition)
  elseif-body
else
  else-body
endif

switch语句

switch expression
  case label
    command_list
  case label
    command_list
  …
  otherwise
    command_list
endswitch

while语句
```
while (condition)
  body
endwhile
```
do-until语句
```
do
  body
until (condition)
```
for语句
```
for var = expression
  body
endfor
```
定义函数

形式一：无自变量 function name body endfunction
形式二：带自变量 function name (arg-list) body endfunction
形式三：单个返回值 function ret-var = name (arg-list) body endfunction
形式四：多个返回值 function [ret-list] = name (arg-list) body endfunction

可变自变量长度函数 function val = smallest (varargin) val = min ([varargin{:}]); endfunction
函数Handles（指向函数的指针） @function-name
匿名函数 @(argument-list) expression
终端输出 disp (x)
写读包含分隔符的数据文件 dlmwrite (file, a) dlmwrite (file, a, delim, r, c) dlmwrite (file, a, key, val ...) dlmwrite (file, a, "-append", ...) a是待写矩阵，delim是分隔符，默认为逗号。r, c分别为起始的空行和空列。key包含下列参数：

"append" 即上面的"-append"，"on"或者"off"
"delimiter" 即上面的delim
"newline" 换行符
"roffset" 即上面的r
"coffset" 即上面的c
"precision" 精确度，可以用类似fprintf的格式字符串，或者有效数字位数

data = dlmread (file) data = dlmread (file, sep, range)

range为四元素的矢量：[R0, C0, R1, C1]，为数据块左上角和右下角的标记，从0开始

Octave可以使用大多数类似C的I/O函数（fprintf，fopen等）

常用数学函数

exp (x)	指数函数	sinh (x)	双曲正弦
log (x)	自然对数	cosh (x)	双曲余弦
log10 (x)	以10为底的对数	tanh (x)	双曲正切
log2 (x)	以2为底的对数	coth (x)	双曲余切
sqrt (x)	平方根	sech (x)	双曲正割
abs (z)	绝对值	csch (x)	双曲余割
arg (z)	辐角	asinh (x)	反双曲正弦
conj (z)	复共轭	acosh (x)	反双曲余弦
real (z)	复数实部	atanh (x)	反双曲正切
imag (z)	复数虚部	acoth (x)	反双曲余切
sin (x)	正弦	asech (x)	反双曲正割
cos (x)	余弦	acsch (x)	反双曲余割
tan (x)	正切	sum (x)	求和
cot (x)	余切	prod (x)	求积u
sec (x)	正割	ceil (x)	不小于x的最小整数
csc (x)	余割	floor (x)	不大于x的最大整数
asin (x)	反正弦	factorial (n)	阶乘
acos (x)	反余弦	max (x)	最大值
atan (x)	反正切	min (x)	最小值
acot (x)	反余切	round (x)	四舍五入
asec (x)	反正割	sign (x)	符号函数
acsc (x)	反余割
atan2 (y, x)	计算atan (y / x)
sind (x),…	以度数为单位的三角函数

特殊函数

[a, ierr] = airy (k, z, opt)	Airy函数
[j, ierr] = besselj (alpha, x, opt)	第一类Bessel函数
[y, ierr] = bessely (alpha, x, opt)	第二类Bessel函数
[i, ierr] = besseli (alpha, x, opt)	变形第一类Bessel函数
[k, ierr] = besselk (alpha, x, opt)	变形第二类Bessel函数
[h, ierr] = besselh (alpha, k, x, opt)	第一类（k=1）和第二类（k=2）Hankel函数
beta (a, b)	Beta函数
gamma (z)	Gamma函数
bincoeff (n, k)	二项式系数
erf (z)	误差函数
legendre (n, x, normalization)	n阶Legendre函数，m = 0…n

线性代数
det (a) 行列式
eig (a) 本征值
dot (x, y) 点乘
inv (a) 逆矩阵
解非线性方程 [x, fval, info] = fsolve (fcn, x0, options) fcn是包含待解方程组的函数，x0是自变量初始值，x为返回的数值解，fval为返回的函数值，如果结果收敛，info为1，否则为其他值。例子： function y = f (x) y(1) = -2*x(1)^2 + 3*x(1)*x(2) + 4*sin(x(2)) - 6; y(2) = 3*x(1)^2 - 2*x(1)*x(2)^2 + 3*cos(x(1)) + 4; endfunction [x, fval, info] = fsolve (@f, [1; 2]) 结果： x = 0.57983 2.54621 fval = 6.1872e-08 -3.2708e-07 info = 1
数值积分（各函数对应不同算法） [v, ier, nfun, err] = quad (f, a, b, tol, sing) quadl (f, a, b, tol) quadgk (f, a, b, prop, val, ...) quadl (f, a, b, tol)

2010年1月21日星期四

统计笔记（一）

协方差（covariance）定义：

$Cov (Y_{1}, Y_{2}) = E [(Y_{1} - μ_{1}) (Y_{2} - μ_{2})]$

其中 $E ()$ 表示期望值， $μ_{1} = E (Y_{1})$ ， $μ_{2} = E (Y_{2})$ 。
相关系数（coefficient of correlation）定义：

$ρ = \frac{Cov (Y_{1}, Y_{2})}{σ_{1} σ_{2}}$

其中 $σ_{1}$ 和 $σ_{2}$ 分别是 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 的标准差。
任意分布样本的平均值
$Y_{1}$ ， $Y_{2}$ ，...， $Y_{n}$ 是 $E (Y_{i}) = μ$ ， $V (Y_{i}) = σ^{2}$ 的独立随机变量，则平均值

$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}$

的期望值 $E (\bar{Y}) = μ$ ，方差 $V (\bar{Y}) = σ^{2} / n$ 。
正态分布样本的平均值
$Y_{1}$ ， $Y_{2}$ ，...， $Y_{n}$ 是来自正态分布（期望值为 $μ$ ，方差为 $σ^{2}$ ）的样本，其平均值

$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}$

也呈正态分布，期望值 $μ_{\bar{Y}} = μ$ ，方差 $σ_{\bar{Y}}^{2} = σ^{2} / n$ 。
$Y_{1}$ ， $Y_{2}$ ，...， $Y_{n}$ 同上，那么

$\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{Y_{i} - μ}{σ})}^{2}$

呈自由度为 $n$ 的 $χ^{2}$ 分布。
$Y_{1}$ ， $Y_{2}$ ，...， $Y_{n}$ 同上，那么

$\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} = \frac{1}{σ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - \bar{Y})^{2}$

呈自由度为 $n - 1$ 的 $χ^{2}$ 分布。其中，

$S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - \bar{Y})^{2}$

是样本方差。 $S^{2}$ 和 $\bar{Y}$ 为独立随机变量。
学生 $t$ 分布(简称 $t$ 分布)定义：
如果 $Z$ 是正态分布随机变量， $W$ 是自由度为 $ν$ 的 $χ^{2}$ 分布随机变量，如果 $Z$ 和 $W$ 互相独立，则

$T = \frac{Z}{\sqrt{W / ν}}$

呈自由度为 $ν$ 的 $t$ 分布。
在上面的定义中，如果让 $Z = \sqrt{n} (\bar{Y} - μ) / σ$ ， $W = (n - 1) S^{2} / σ^{2}$ ，则由上面第4和第6条结论可以得出

$\sqrt{n} (\frac{\bar{Y} - μ}{S})$

呈自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布。
$F$ 分布定义：
如果 $W_{1}$ 和 $W_{2}$ 为独立 $χ^{2}$ 分布变量，自由度分别为 $ν_{1}$ 和 $ν_{2}$ ，则

$F = \frac{W_{1} / ν_{1}}{W_{2} / ν_{2}}$

被称作具有 $ν_{1}$ 分子自由度和 $ν_{2}$ 分母自由度的 $F$ 分布。
中心极限定理（Central Limit Theorem）
$Y_{1}$ ， $Y_{2}$ ，...， $Y_{n}$ 是独立的具有同样分布的随机变量，期望值 $E (Y_{i}) = μ$ ，方差 $V (Y_{i}) = σ^{2} < \infty$ 。定义

$U_{n} = \sqrt{n} (\frac{\bar{Y} - μ}{σ})$

其中

$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}$

那么，当 $n \to \infty$ 时， $U_{n}$ 趋近于正态分布。

2010年1月18日星期一

写了一份Maxima的中文文档

以前我为计算机代数系统Maxima写了一些简介，这次抽时间写了一个比较完整的中文文档，希望能为开放源代码软件的推广做点贡献。

《Maxima快速参考手册》：

写的仓促，欢迎反馈。

2009年5月11日星期一

在eps图片上添加LaTeX公式

利用MetaPost的exteps宏包，可以在metapost文件中加入eps图片，同时利用metapost的label命令在图片任何地方加入LaTeX公式。下面是一个使用exteps的例子：

input exteps
verbatimtex
\documentclass{article}
\begin{document}
etex
prologues:=2;
beginfig(1);
begineps "figure.eps";
endeps;
label.rt(btex $f(x) = \sqrt x$ etex, (2cm,3cm));
endfig;
end

为了使用LaTeX命令，需要设置环境变量

TEX=latex

2009年4月2日星期四

GnuPlot在PostScript终端下使用任意字体

有时候我们在GnuPlot中想使用一些其他字体，例如LaTeX字体或者一些艺术字体，这时候我们可以用fontfile选项把自己的字体内嵌进生成的PostScript文件：

set term postscript fontfile "myfont.ext" "FontName"

这里的字体可以是Type 1字体，也可以是TrueType字体。命令必须包含完整字体文件名，包括扩展名。字体文件可以在当前目录，也可以用GNUPLOT_FONTPATH环境变量控制字体路径。FontName（字体名）不是字体文件名，通常不那么容易直接得到，尤其是TrueType字体。最简单的办法是在GnuPlot里执行

set term postscript fontfile "myfont.ext"

GnuPlot会自动给出字体名。

这样，由于可以使用LaTeX字体，配合PostScript终端的enhanced选项，我们几乎可以在GnuPlot中输入任意特殊字符。另外，为使用TrueType字体，需要安装ttf2pt1工具进行字体自动转化。

2009年3月16日星期一

sed被称为流编辑器（stream editor）。它和一般写字板之类的文本编辑器不同，它通过逐行读入文本文件，按照用户指定的方式对文本进行过滤。用户通过脚本命令告诉sed该如何处理文本文件，所以sed可以看作一种程序语言。这看起来没有使用鼠标和键盘编辑文件的编辑器方便，但是当我们需要自动处理大量文本文件时，这会非常方便。例如，我需要把很多数据文件的某些行注释掉，也就是在所有数据文件的某几行开始处加上字符“# ”。如果一个个文件编辑，工作量就太大了。下面这个命令可以很方便的实现这个功能：

sed -i '1,5 s/^/# /' *.txt

这个命令把每一个.txt作为后缀的文件前5行开始处加上“# ”。下面把常用的一些sed命令总结一下。

替换一段文字

sed

sed 's/a/A/' <old >new

old

new

old

sed 's/a/A/g' <old >new

/

sed

执行多个命令

-e

sed -e 's/a/A/' -e 's/b/B/' <old >new

指定对某些行操作

sed '1,10 s/A/a/'

另外，这里有一个很有用的sed常用单行命令参考。

2009年1月9日星期五

GnuPlot使用png terminal时找不到字体的问题

GnuPlot不同的终端（terminal）使用不同的处理字体的方法。png/jpeg/gif使用libgd，所以字体目录由GDFONTPATH这个环境变量控制，可以直接使用TrueType字体。例如把需要用到的字体放在$HOME/fonts目录下，在.bashrc中添加：

export GDFONTPATH=$HOME/fonts

当路径设置好后，可以用GNUPLOT_DEFAULT_GDFONT这个环境变量设置默认字体。

2009年1月2日星期五

在USB drive（U盘）上安装Linux

用UNetbootin可以很方便的把Linux装到U盘上，只要主板支持，就可以从U盘启动Linux。由于U盘可读写，比Live CD更方便。目前UNetbootin支持Fedora，Debian，Ubuntu等各种主流Linux版本。如果你的U盘比较小，可以试试Puppy Linux，挺小巧的一个Linux版本，只有100M左右大小。

2008年11月21日星期五

Mie散射计算器

Mie散射理论为球形颗粒对于电磁波的散射提供了一套严格解，其数值计算十分复杂。Bohren和Huffman的书里提供了用于数值计算的Fortran代码。另外，Oregon Medical Laser Center的网页提供了一个在线的Mie散射计算器，可以快速的计算出一些常用参数，并且给出一些图线。

2008年11月19日星期三

GNU screen的几个常用命令

GNU screen是命令行界面下的窗口管理器，允许用户在命令行界面下同时在几个虚拟窗口运行不同的程序。GNU screen有一个很有用的功能：如果用户登录到远程机器上利用screen运行程序，该程序在用户切断连接之后可以继续运行，并且下次用户可以登录继续上次的操作。下面是一些常用的命令。

首先在终端执行screen命令进入程序。执行之后虽然看不到任何变化，其实screen已经启动，我们看到的就是一个虚拟终端。

建立一个新的窗口（虚拟终端）：C-a c
也就是按Ctrl+a然后再按c
切换到之后的窗口：C-a n
切换到之前的窗口：C-a p
切换的第N个窗口：C-a N
显示现有窗口列表，用上下箭头（或者类似于vi中用j和k）移动光标，按Enter选择：C-a "
改变当前窗口的名字：C-a A
关闭目前的screen但是保留其中运行的程序（detach）：C-a d
如果直接关闭窗口也可以有同样作用。
运行screen继续上次在screen里运行的程序（reattach）：screen -r
进入拷贝模式：C-a [
在screen里不能向上翻屏，进入拷贝模式可以使用光标上下移动翻屏。用空格键可以选择要拷贝的文字，第一次按空格选择开始的字符，第二次选择结束的字符。
粘贴选择的文字：C-a ]

2008年11月16日星期日

Linux下用sopcast看电视

Sopcast是一个基于P2P技术的网络电视软件，在Linux和Windows上都可以运行。Sopcast网站提供的Linux版本倒挺简单，直接下载解压就可以用了。但是这只是一个命令行的软件。有几个图形界面可以用，觉得gsopcast不错，但是源代码在Fedora和Debian上编译都有问题，header文件需要改动几处。可能因为大家用的编译器不一样？编译好的文件在这里，是我在Debian下用gcc4.3编译的，gsopcast版本是0.4.0，可以直接下载下来用，应该不依赖特定的发行版。

如果自己在桌面建立一个gsopcast快捷方式图标的话，似乎当从图标启动的时候，$PATH变量不起作用，所以gsopcast可能找不到sopcast的执行文件。另外，新的sopcast执行文件是sp-sc-auth，而不是以前的sp-sc。要保证正常使用，最好在/usr/local/bin目录建立一个符号链接，取名作sp-sc。

2008年11月10日星期一

光圈档数（aperture stop）的计算方法

摄影的时候计算曝光量经常用到几“档”曝光这个术语。这个曝光的“档数”（stop）也经常被称作EV（exposure value）。这个“档数”到底怎么算出来的？曝光量是由光圈和快门共同决定的。曝光量增加一倍，就叫做曝光增加一档。当光圈一定时，曝光量和快门时间（也就是曝光时间）成正比，例如1/30秒就比1/60秒曝光增加一倍，也就是增加一档。这比较容易理解。比较容易迷惑的是光圈。光圈一般用F数（F number或者F/#）来表示，其定义为：

f / # = \frac{f}{D}

其中f是镜头焦距，D是镜头入射孔径。如果拿起一个镜头，从前面看进去，所看到的那个圆形小孔的直径，就是镜头的入射孔径了。对于一般相机镜头，这个孔径大小是可调的，由f/#的设置来控制。有些人可能会想，既然计算曝光量，为什么不直接拿孔径大小D来算，还要定义一个什么f/#。这是因为，感光器件（胶片或者CCD）的曝光量不仅和孔径大小有关，还和焦距有关。用f/#能更准确的表示曝光量。但是这有一个前提，就是物体离镜头比较远，如果物体离镜头很近（例如显微镜），就不能用f/#来算曝光量了。这时候一个更常用的量是数值孔径（numerical aperture或NA）。因为孔径D在分母上，所以f/#数值越小，光圈越大。例如光圈f/2比f/4要大。但是f/2并非比f/4大一档光圈，而是二档。因为镜头通光量和孔径面积成正比，也就是和孔径大小的平方成正比。所以，比f/4大一档的光圈是

\frac{4}{\sqrt{2}} ≅ 2.8

实际上还会经常碰到分数表示，例如半档，1/3档。对于普遍情况下，可以用下面的公式计算两个光圈究竟差几档：

N = 2 \log_{2} \frac{f / # 2}{f / # 1}

例如，f/1.4和f/1.8相差

N = 2 \log_{2} \frac{f / 1.8}{f / 1.4} ≅ \frac{2}{3}

2008年11月4日星期二

LaTeX CJK生成PDF文件的中文搜索以及复制粘贴

以前的blog介绍过如何在Fedora下安装配置LaTeX CJK，其他的Linux发行版也可以用类似的方法。但是如果直接用ps2pdf或者dvipdfm生成PDF文件，这样的PDF文件没办法搜索中文，也不能复制粘贴中文内容。可以用dvipdfmx将生成的dvi文件转换为PDF，这样生成的PDF可以完成上述功能。另外，我把自己的LaTeX CJK的字体和配置文件放到了网上，地址是http://www.mediafire.com/file/dwutwxjjmdn/texmf.tar.gz，有需要的朋友可以去下载。这个文件包含CJK包和三个字体，分别是Fedora自带的文鼎宋体，楷体，还有文泉驿的黑体，应该满足大多数应用。下载后解压到$HOME目录，执行texhash $HOME/texmf。不需要进行任何其他配置。下面的文件可以用来测试安装结果：

\documentclass{article}
\usepackage{CJKutf8}
\begin{document}
\begin{CJK}{UTF8}{song}
CJK 测试。

\emph{CJK 测试。}

\textbf{CJK 测试。}
\end{CJK}
\end{document}

2008年10月31日星期五

用WebPlayer在网页里播放mp3

WebPlayer利用Flash技术，允许你在你的网页里直接播放mp3文件，而不需要任何其他软件。WebPlayer使用非常简单，只要下载一个很小的文件放在你的网站上，把要播放的mp3文件也放上去，再在你的网页的HTML文件里加几行代码，就可以了。下面是我用口琴演奏的《天鹅》。

祝老婆纪念日快乐！

2008年10月29日星期三

光束质量因子M²（M squared）的测量

各种文献经常会用M²（M squared）因子来评价光束的质量。到底什么是M²？一般文献会告诉你，M²就是一个光束的腰半径和发散角的乘积跟TEM₀₀高斯光束相比的比值。M²≥1，因为TEM₀₀高斯光束的该乘积具有最小值。要想从实验得到M²的值，不可避免的要涉及光束半径测量的问题。

光束半径

f (x) = a e^{- \frac{x^{2}}{2 σ^{2}}}

I (x) = e^{- \frac{2 x^{2}}{w_{x}^{2}}}

₁

₂

D = | x_{2} - x_{1} |

₀₀

TEM₀₀高斯光束

误差函数

\frac{\int_{- \frac{D}{2}}^{\frac{D}{2}} e^{- \frac{2 x^{2}}{w^{2}}} d x}{\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{2 x^{2}}{w^{2}}} d x} = \erf (\frac{\sqrt{2} D}{2 w})

D = 1.2816 w = 2.5631 σ

₀₀

M²因子

₀₀

w^{2} (z) = w_{0}^{2} + {(\frac{λ}{π w_{0}})}^{2} (z - z_{0})^{2}

₀

₀₀

w^{2} (z) = w_{0}^{2} + M^{4} \times {(\frac{λ}{π w_{0}})}^{2} (z - z_{0})^{2}

刀锋法测量

₀₀

Siegman的一篇论文

₀₀

2008年10月28日星期二

让blogger支持MathML公式输出

我想在我的blog里显示公式怎么办？我可以把每个公式变成图片文件，然后把公式作为图片显示。我不需要截屏软件，OpenOffice可以很方便的把包含公式的文档转换为包含图片的HTML文件。但是这么做太笨了。更好的办法是用MathML在网页上显示公式。 MathML是XML的一个应用，是W3C推荐使用的网页数学公式显示方案。遗憾的是，目前不是所有的浏览器都支持MathML。Firefox本身包含对MathML的支持，但是你可能需要安装显示数学公式需要的字体。如果你使用Linux，你的发行版很可能包含（甚至已经安装）了该字体，请以mathml为关键词搜索以确定是否已经安装。如果你不幸使用Windows，请到这里按照说明自行安装字体。如果你更不幸使用IE浏览器，那只好自生自灭了。（开个玩笑，请安装MathPlayer插件）。现在你可以到这里测试一下你的浏览器是不是可以正确显示MathML公式了。能显示，很好。可是，blogger并不能自动支持MathML的显示，因为blogger的网页扩展名都是html，浏览器不会自动按照xml来显示。这个问题可以这么解决：到这里下载一个小javascript文件，把这个文件直接放到你的blogger template文件的head里面，或者放到互联网上某个地方，在template的head里面加入下面一行：

<script type="text/javascript" src="javascript文件的链接"></script>

这样blogger就可以显示你的MathML公式了。 MathML语法非常复杂，要想直接用MathML写出一个公式并不容易。TtM是个把LaTeX公式转换成MathML代码的小工具。这下就方便多了。把转换好的MathML代码复制到你的blog就可以了。下面是一个MathML显示公式的例子：

U (r) = A_{0} \frac{W_{0}}{W (z)} \exp [- \frac{ρ^{2}}{W^{2} (z)}] \exp [- jkz - jk \frac{ρ^{2}}{2 R (z)} + j ζ (z)]

2008年10月21日星期二

不用重启切换runlevel

Linux下telinit命令允许不重启的情况下切换runlevel。

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`x < y`	小于
`x <= y`	小于等于
`x == y`	等于
`x >= y`	大于等于
`x > y`	大于
`x != y` 或 `x ~= y`	不等于

det (a)	行列式
eig (a)	本征值
dot (x, y)	点乘
inv (a)	逆矩阵