如何使用Maxima（二）

1. 三角函数变换

   常用的三角函数变换有下面几种：

   trigexpand

   利用和差化积公式展开

   trigreduce

   利用积化和差等公式变成sin或cos的和

   trigsimp

   利用sin²(x) + cos² = 1等公式简化

   trigrat

   简化分数形式

   下面是一些例子：

   (%i1) sin(2*x)/cos(x)+cos(2*x);
                                 sin(2 x)
   (%o1)                         -------- + cos(2 x)
                                  cos(x)
   (%i2) trigexpand(%o1);
                                2                    2
   (%o2)                   - sin (x) + 2 sin(x) + cos (x)
   (%i3) trigreduce(%o1);
   (%o3)                     sec(x) sin(2 x) + cos(2 x)
   (%i4) trigsimp(%o1);
                             sin(2 x) + cos(x) cos(2 x)
   (%o4)                     --------------------------
                                       cos(x)
   (%i5) trigrat(%);
   (%o5)                         cos(2 x) + 2 sin(x)
   

2. 微积分

   微分：

   (%i1) f: sqrt(x-1)*exp(2*x^2);
                                                  2
                                               2 x
   (%o1)                         sqrt(x - 1) %e
   (%i2) diff(f, x);
                                                        2
                                            2        2 x
                                         2 x       %e
   (%o2)               4 sqrt(x - 1) x %e     + -------------
                                                2 sqrt(x - 1)
   (%i3) diff(sin(x)*exp(x^2), x, 2);
                          2             2                 2
                     2   x             x                 x
   (%o3)          4 x  %e   sin(x) + %e   sin(x) + 4 x %e   cos(x)
   

   不定积分：

   (%i4) integrate(%o2, x);
                                          2   log(x - 1)
                                       2 x  - ----------
                                                  2
   (%o4)                     (x - 1) %e
   

   定积分： 从这个例子可以看出，maxima是一个很聪明的代数系统，它不会像其他数学程序那样想当然的默认一个结果，而是主动问你必要的条件，然后给出正确的结果。

   (%i5) integrate(exp(-a*x^2), x, 0, inf);
   Is  a  positive, negative, or zero?
   
   positive;
                                      sqrt(%pi)
   (%o5)                              ---------
                                      2 sqrt(a)
   

   泰勒展开： 这个例子给出函数g的前三阶泰勒展开。

   (%i6) g: sin(2*x)*exp(a*x);
                                     a x
   (%o6)                           %e    sin(2 x)
   (%i7) taylor (g, x, 0, 4);
                                   2       3     3         4
                           2   (3 a  - 4) x    (a  - 4 a) x
   (%o7)/T/     2 x + 2 a x  + ------------- + ------------- + . . .
                                     3               3